Sistem Persamaan Linear

Pengertian Sistem Persamaan Linear

Dilansir dari lama Wikipedia.org persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Sedangkan sistem persamaan linear adalah persamaan-persamaan linear yang dihubungkan untuk membentuk suatu sistem. Sistem persamaan linear bermanfaat untuk menentukan nilai variabel-variabel didalamnya. Dalam kehidupan sehari-hari penggunaan persamaan linear digunakan dalam menentukan harga suatu barang, mencari keuntungan, sampai menentukan ukuran suatu benda.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari persamaan bentuk aljabar dengan dua variabel dan keduanya berpangkat satu. Variabel dalam sistem persamaan linear dua variabel biasa disimbolkan dengan x dan y, dengan bentuk umum :

ax+by=c

px+qy=r

Dimana a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan-bilangan real.

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah cara menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dengan cara menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variabel dalam sistem persamaan tersebut. Misalnya variabelnya terdiri atas x dan y, maka utuk menentukan variabel x harus mengeliminasi terlebih dahulu variabel y. Begitu juga sebaliknya, apabila ingin menentukan nilai variabel y maka yang dieliminasi adalah variabel x terlebih dahulu. Metode eliminasi dapat digunakan bila koefisien dari salah satu variabel sama dengan koefisien pada persamaan lainnya. Apabila tidak sama maka bisa dengan mengalikan salah satu atau kedua persamaan agar didapatkan nilai koefisien yang sama.

Contoh :

Dengan metode eliminasi tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dari 2x+3y=7 dan x-y=1!

Penyelesaian :

Eliminasi variabel y untuk menentukan nilai x. Samakan koefisien variabel y untuk kedua persamaan.

Persamaan 2x+3y=7 dikali 1 hasilnya 2x+3y=7 , dan persamaan x-y=1 dikali 3 hasilnya 3x-3y=3. Kemudian eliminasi koefisien y dengan menjumlahkan (apabila koefisien yang dieleminasi postif dengan positif atau negatif dengan negatif maka dikurangi, apabila koefisien yang dieleminasi negatif dengan positif maka dijumlahkan) kedua persamaan tersebut.

2x+3y=7

3x-3y=3 +

5x=10

x=2

Eliminasi variabel x untuk menentukan nilai y. Samakan koefisien variabel x untuk kedua persamaan.

Persamaan 2x+3y=7 dikali 1 hasilnya 2x+3y=7 , dan persamaan x-y=1 dikali 2 hasilnya 2x-2y=2. Kemudian eliminasi koefisien x dengan mengurangkan kedua persamaan tersebut.

2x+3y=7

2x-2y=2 -

5y=5

y=1

Maka himpunan penyelesaiannya adalah (2;1)

2. Metode Substitusi

Metode substitusi adalah cara menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan dengan cara menyatakan terlebih dahulu variabel yang satu ke dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, kemudian mensubstitusikan variabel tadi kedalam persamaan lainnya.

Contoh :

Dengan metode substitusi tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dari 2x+3y=7 dan x-y=1!

Penyelesaian :

Persamaan x-y=1 ekuivalen dengan x=1+y. dengan mensubstitusikan x=1+y ke persamaan 2x+3y=7 maka diperoleh.

2x+3y=7

2(1+y)+3y=7

2+2y+3y=7

5y=7-2

5y=5

y=1

Kemudian untuk memperoleh nilai x, substitusikan nilai y=1 ke persamaan x-y=1

x-y=1

x-1=1

x=1+1

x=2

Maka himpunan penyelesaiannya adalah (2;1)

3. Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)

Metode gabungan adalah cara menentukan himpunan penyelesaian dengan cara eliminasi dan substitusi. Pertama eliminasi satu variabel kemudian penyelesaian berikutnya dengan mensubtitusikan ke salah satu persamaan, dapat juga dibalik dengan mensubstitusikan terlebih dahulu baru eliminasi.

Contoh :

Dengan metode eliminasi-substitusi tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dari 2x+3y=7 dan x-y=1!

Penyelesaian :

Metode Eliminasi

2x+3y=7 x1

x-y=1 x 3

Maka diperoleh

2x+3y=7

3x-3y=3 +

5x=10

x=2

Metode Substitusi

2x+3y=7

2(2)+3y=7

4+3y=7

3y=7-4

3y=3

y=1

Maka himpunan penyelesaiannya adalah (2;1)

4. Metode Grafik

Metode grafik adalah cara menentukan himpunan penyelesaian dengan membuat grafik garis pada masing-masing persamaan, kemudai himpunan penyelesaian akan didapatkan dari kedua titik potong garis tersebut.

Contoh :

Dengan metode grafik tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dari 2x+3y=7 dan x-y=1!

Penyelesaian :

Maka himpunan penyelesaiannya adalah (2;1)